自治 在不同领域有不同的释义，此处主要指用数学微分方程描述的系统，如控制和物理系统。
如果一个系统具有如下形式，称为 自治系统 或者 时不变系统：
x
˙
=
f
(
x
)
\begin{equation} \dot x= f(x) \end{equation}
x˙=f(x)
其特点是
f
f
f 不显式依赖于
t
t
t
注：函数
f
f
f 不显式依赖于
t
t
t ，并不是说系统和时间无关。动态系统的轨迹
x
(
t
)
x(t)
x(t) 是随着时间演化的，时间依然是系统的自变量，但是系统在某点的变化率
f
(
x
)
f(x)
f(x) 和该系统运行在哪个时刻无关，只与系统当时的状态有关。
例如
x
˙
(
t
)
=
A
x
(
t
)
\dot x(t)=Ax(t)
x˙(t)=Ax(t)
是线性自治（时不变）系统，其中
A
A
A 是常矩阵，
x
x
x 是关于
t
t
t 的函数，但是
f
f
f 不显式依赖于
t
t
t。
x
˙
(
t
)
=
x
(
t
)
+
s
i
n
(
x
(
t
)
)
\dot x(t) = x(t)+sin(x(t))
x˙(t)=x(t)+sin(x(t))
是非线性自治（时不变）系统。
反之称为非自治系统或时变系统
x
˙
=
f
(
t
,
x
)
\begin{equation} \dot x = f(\red t,x) \end{equation}
x˙=f(t,x)
其中函数
f
f
f 显式依赖于
t
t
t。
例如
x
˙
(
t
)
=
A
(
t
)
x
(
t
)
\dot x(t) = A(\red t)x(t)
x˙(t)=A(t)x(t) 是线性非自治（时变）系统
x
˙
(
t
)
=
x
(
t
)
+
sin
t
\dot x(t) = x(t)+ \sin \red t
x˙(t)=x(t)+sint 是非线性非自治（时变）系统
注：一个误区，系统是自治还是非自治并不能根据系统有输入或者无输入来判断。
如果受控系统
x
˙
=
f
(
x
,
u
)
\dot x=f(x,u)
x˙=f(x,u) 的输入
u
=
g
(
x
)
u=g(x)
u=g(x) 只是关于状态的函数，那么受控系统是自治的； 如果受控系统
x
˙
=
f
(
x
,
u
)
\dot x=f(x,u)
x˙=f(x,u)的输入
u
=
g
(
x
,
t
)
u=g(x,t)
u=g(x,t) 是显式依赖于时间的，那么受控系统是非自治的。