条件概率与全概率、贝叶斯公式 条件概率条件概率的定义定义：设 AAA 和 BBB 是两个事件，且 P(B)>0P(B) > 0P(B)>0，则在事件 BBB 发生的条件下，事件 AAA 发生的概率称为条件概率，记为 P(A∣B)P(A|B)P(A∣B)，定义为： P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)
条件概率的直观理解理解：条件概率 P(A∣B)P(A|B)P(A∣B) 表示在已知事件 BBB 发生的条件下，事件 AAA 发生的概率。它反映了事件 BBB 的发生对事件 AAA 发生概率的影响。
条件概率的性质性质 1：0≤P(A∣B)≤10 \leq P(A|B) \leq 10≤P(A∣B)≤1
性质 2：P(Ω∣B)=1P(\Omega|B) = 1P(Ω∣B)=1，P(∅∣B)=0P(\varnothing|B) = 0P(∅∣B)=0
性质 3：如果 A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_nA1,A2,…,An 两两互斥，则： P(A1∪A2∪⋯∪An∣B)=P(A1∣B)+P(A2∣B)+⋯+P(An∣B)P(A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n|B) = P(A_1|B) + P(A_2|B) + \dots + P(A_n|B)P(A1∪A2∪⋯∪An∣B)=P(A1∣B)+P(A2∣B)+⋯+P(An∣B)
性质 4：P(A‾∣B)=1−P(A∣B)P(\overline{A}|B) = 1 - P(A|B)P(A∣B)=1−P(A∣B)
条件概率的乘法公式公式：对任意两个事件 AAA 和 BBB，有： P(A∩B)=P(B)P(A∣B)=P(A)P(B∣A)P(A \cap B) = P(B)P(A|B) = P(A)P(B|A)P(A∩B)=P(B)P(A∣B)=P(A)P(B∣A)
推广：对任意 nnn 个事件 A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_nA1,A2,…,An，有： P(A1∩A2∩⋯∩An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1∩A2)…P(An∣A1∩A2∩⋯∩An−1)P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1 \cap A_2) \dots P(A_n|A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_{n-1})P(A1∩A2∩⋯∩An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1∩A2)…P(An∣A1∩A2∩⋯∩An−1)
条件概率的例子例 1：从一副扑克牌中随机抽取一张牌
设 A={抽到红桃}A = \{\text{抽到红桃}\}A={抽到红桃}设 B={抽到红牌}B = \{\text{抽到红牌}\}B={抽到红牌}P(A)=1352=14P(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}P(A)=5213=41P(A∣B)=P(A∩B)P(B)=13522652=12P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{13}{52}}{\frac{26}{52}} = \frac{1}{2}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)=52265213=21例 2：掷两颗骰子
设 A={第一颗骰子出现6}A = \{\text{第一颗骰子出现6}\}A={第一颗骰子出现6}设 B={两颗骰子点数之和为8}B = \{\text{两颗骰子点数之和为8}\}B={两颗骰子点数之和为8}P(A)=16P(A) = \frac{1}{6}P(A)=61P(B)=536P(B) = \frac{5}{36}P(B)=365（有 5 种情况：(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)）P(A∩B)=136P(A \cap B) = \frac{1}{36}P(A∩B)=361（只有(6,2)一种情况）P(A∣B)=136536=15P(A|B) = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{5}{36}} = \frac{1}{5}P(A∣B)=365361=51 全概率公式全概率公式的定义定义：设 A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_nA1,A2,…,An 是样本空间 Ω\OmegaΩ 的一个划分（即 Ai∩Aj=∅A_i \cap A_j = \varnothingAi∩Aj=∅ 对 i≠ji \neq ji=j，且 A1∪A2∪⋯∪An=ΩA_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n = \OmegaA1∪A2∪⋯∪An=Ω），且 P(Ai)>0P(A_i) > 0P(Ai)>0 对 i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, ni=1,2,…,n，则对任意事件 BBB，有： P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)
全概率公式的直观理解理解：全概率公式将复杂事件 BBB 的概率分解为在不同条件下发生的概率的加权和。它体现了”分而治之”的思想。
全概率公式的证明证明：
B=B∩Ω=B∩(A1∪A2∪⋯∪An)B = B \cap \Omega = B \cap (A_1 \cup A_2 \cup \dots \cup A_n)B=B∩Ω=B∩(A1∪A2∪⋯∪An)=(B∩A1)∪(B∩A2)∪⋯∪(B∩An)= (B \cap A_1) \cup (B \cap A_2) \cup \dots \cup (B \cap A_n)=(B∩A1)∪(B∩A2)∪⋯∪(B∩An)由于 A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_nA1,A2,…,An 两两互斥，所以 (B∩A1),(B∩A2),…,(B∩An)(B \cap A_1), (B \cap A_2), \dots, (B \cap A_n)(B∩A1),(B∩A2),…,(B∩An) 也两两互斥因此 P(B)=∑i=1nP(B∩Ai)P(B) = \sum_{i=1}^n P(B \cap A_i)P(B)=∑i=1nP(B∩Ai)由乘法公式，P(B∩Ai)=P(Ai)P(B∣Ai)P(B \cap A_i) = P(A_i)P(B|A_i)P(B∩Ai)=P(Ai)P(B∣Ai)所以 P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i)P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B∣Ai)全概率公式的例子例 3：有三个盒子，分别含有 2、3、5 个球，随机选一盒取一球
设 Ai={选第 i 盒}A_i = \{\text{选第 } i \text{ 盒}\}Ai={选第 i 盒}，i=1,2,3i = 1, 2, 3i=1,2,3设 B={取到白球}B = \{\text{取到白球}\}B={取到白球}P(A1)=P(A2)=P(A3)=13P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}P(A1)=P(A2)=P(A3)=31假设第 1 盒全白，第 2 盒全白，第 3 盒有 3 白 2 黑P(B∣A1)=1P(B|A_1) = 1P(B∣A1)=1，P(B∣A2)=1P(B|A_2) = 1P(B∣A2)=1，P(B∣A3)=35P(B|A_3) = \frac{3}{5}P(B∣A3)=53P(B)=13×1+13×1+13×35=13+13+15=1115P(B) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{11}{15}P(B)=31×1+31×1+31×53=31+31+51=1511 贝叶斯公式贝叶斯公式的定义定义：在全概率公式的条件下，对任意事件 BBB 且 P(B)>0P(B) > 0P(B)>0，有： P(Ai∣B)=P(Ai)P(B∣Ai)∑j=1nP(Aj)P(B∣Aj)P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)}P(Ai∣B)=∑j=1nP(Aj)P(B∣Aj)P(Ai)P(B∣Ai)
贝叶斯公式的直观理解理解：贝叶斯公式用于计算在事件 BBB 发生的条件下，事件 AiA_iAi 发生的概率。它体现了”逆概率”的思想，即从结果反推原因。
贝叶斯公式的证明证明：
由条件概率定义，P(Ai∣B)=P(Ai∩B)P(B)P(A_i|B) = \frac{P(A_i \cap B)}{P(B)}P(Ai∣B)=P(B)P(Ai∩B)由乘法公式，P(Ai∩B)=P(Ai)P(B∣Ai)P(A_i \cap B) = P(A_i)P(B|A_i)P(Ai∩B)=P(Ai)P(B∣Ai)由全概率公式，P(B)=∑j=1nP(Aj)P(B∣Aj)P(B) = \sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)P(B)=∑j=1nP(Aj)P(B∣Aj)所以 P(Ai∣B)=P(Ai)P(B∣Ai)∑j=1nP(Aj)P(B∣Aj)P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)}P(Ai∣B)=∑j=1nP(Aj)P(B∣Aj)P(Ai)P(B∣Ai)贝叶斯公式的例子例 4：继续例 3 的问题，求取到白球的条件下，球来自第 3 盒的概率
P(A3∣B)=P(A3)P(B∣A3)P(B)P(A_3|B) = \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)}P(A3∣B)=P(B)P(A3)P(B∣A3)=13×351115=151115=311= \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}}{\frac{11}{15}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{11}{15}} = \frac{3}{11}=151131×53=151151=113例 5：某工厂生产的产品由三个车间生产，第一车间生产 40%，第二车间生产 35%，第三车间生产 25%。第一车间的次品率为 2%，第二车间的次品率为 1%，第三车间的次品率为 3%。现从产品中随机抽取一件，发现是次品，求它来自第一车间的概率。
解：
设 Ai={产品来自第 i 车间}A_i = \{\text{产品来自第 } i \text{ 车间}\}Ai={产品来自第 i 车间}，i=1,2,3i = 1, 2, 3i=1,2,3设 B={产品是次品}B = \{\text{产品是次品}\}B={产品是次品}P(A1)=0.4P(A_1) = 0.4P(A1)=0.4，P(A2)=0.35P(A_2) = 0.35P(A2)=0.35，P(A3)=0.25P(A_3) = 0.25P(A3)=0.25P(B∣A1)=0.02P(B|A_1) = 0.02P(B∣A1)=0.02，P(B∣A2)=0.01P(B|A_2) = 0.01P(B∣A2)=0.01，P(B∣A3)=0.03P(B|A_3) = 0.03P(B∣A3)=0.03P(B)=0.4×0.02+0.35×0.01+0.25×0.03=0.008+0.0035+0.0075=0.019P(B) = 0.4 \times 0.02 + 0.35 \times 0.01 + 0.25 \times 0.03 = 0.008 + 0.0035 + 0.0075 = 0.019P(B)=0.4×0.02+0.35×0.01+0.25×0.03=0.008+0.0035+0.0075=0.019P(A1∣B)=0.4×0.020.019=0.0080.019≈0.421P(A_1|B) = \frac{0.4 \times 0.02}{0.019} = \frac{0.008}{0.019} \approx 0.421P(A1∣B)=0.0190.4×0.02=0.0190.008≈0.421 事件的独立性事件独立性的定义定义：如果事件 AAA 和 BBB 满足： P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)
则称事件 AAA 和 BBB 独立。
事件独立性的等价条件等价条件：事件 AAA 和 BBB 独立的充要条件是： P(A∣B)=P(A)或P(B∣A)=P(B)P(A|B) = P(A) \quad \text{或} \quad P(B|A) = P(B)P(A∣B)=P(A)或P(B∣A)=P(B)
事件独立性的性质性质 1：如果 AAA 和 BBB 独立，则 AAA 和 B‾\overline{B}B 独立，A‾\overline{A}A 和 BBB 独立，A‾\overline{A}A 和 B‾\overline{B}B 独立。
性质 2：如果 AAA 和 BBB 独立，且 P(B)>0P(B) > 0P(B)>0，则 P(A∣B)=P(A)P(A|B) = P(A)P(A∣B)=P(A)。
性质 3：不可能事件与任意事件独立。
多个事件的独立性定义：事件 A1,A2,…,AnA_1, A_2, \dots, A_nA1,A2,…,An 称为相互独立，如果对任意 kkk 个事件 Ai1,Ai2,…,AikA_{i_1}, A_{i_2}, \dots, A_{i_k}Ai1,Ai2,…,Aik，都有： P(Ai1∩Ai2∩⋯∩Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \dots \cap A_{i_k}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2}) \dots P(A_{i_k})P(Ai1∩Ai2∩⋯∩Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)
独立性的例子例 6：掷两颗骰子
设 A={第一颗骰子出现6}A = \{\text{第一颗骰子出现6}\}A={第一颗骰子出现6}设 B={第二颗骰子出现6}B = \{\text{第二颗骰子出现6}\}B={第二颗骰子出现6}P(A)=16P(A) = \frac{1}{6}P(A)=61，P(B)=16P(B) = \frac{1}{6}P(B)=61P(A∩B)=136=16×16=P(A)P(B)P(A \cap B) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = P(A)P(B)P(A∩B)=361=61×61=P(A)P(B)所以 AAA 和 BBB 独立 练习题练习 1已知 P(A)=0.3,P(B∣A)=0.5P(A) = 0.3, P(B|A) = 0.5P(A)=0.3,P(B∣A)=0.5，求 P(A∩B)P(A \cap B)P(A∩B)。
参考答案解题思路： 使用乘法公式计算。
详细步骤：
P(A∩B)=P(A)P(B∣A)P(A \cap B) = P(A)P(B|A)P(A∩B)=P(A)P(B∣A)=0.3×0.5=0.15= 0.3 \times 0.5 = 0.15=0.3×0.5=0.15答案：0.150.150.15
练习 2有三个盒子，分别含有 2、3、5 个球，随机选一盒取一球，求取到球来自第 3 盒的条件下该球为白球的概率（第 3 盒有 3 白 2 黑，其他全白）。
参考答案解题思路： 使用贝叶斯公式计算。
详细步骤：
设 Ai={选第 i 盒}A_i = \{\text{选第 } i \text{ 盒}\}Ai={选第 i 盒}，i=1,2,3i = 1, 2, 3i=1,2,3设 B={取到白球}B = \{\text{取到白球}\}B={取到白球}P(A1)=P(A2)=P(A3)=13P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}P(A1)=P(A2)=P(A3)=31P(B∣A1)=1P(B|A_1) = 1P(B∣A1)=1，P(B∣A2)=1P(B|A_2) = 1P(B∣A2)=1，P(B∣A3)=35P(B|A_3) = \frac{3}{5}P(B∣A3)=53P(B)=13×1+13×1+13×35=1115P(B) = \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times 1 + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{11}{15}P(B)=31×1+31×1+31×53=1511P(A3∣B)=P(A3)P(B∣A3)P(B)=13×351115=311P(A_3|B) = \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{3}{5}}{\frac{11}{15}} = \frac{3}{11}P(A3∣B)=P(B)P(A3)P(B∣A3)=151131×53=113答案：311\frac{3}{11}113
练习 3已知 P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A∩B)=0.3P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A \cap B) = 0.3P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(A∩B)=0.3，判断 A、B 是否独立。
参考答案解题思路： 检查是否满足独立性条件。
详细步骤：
P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3P(A)P(B) = 0.6 \times 0.5 = 0.3P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3P(A∩B)=0.3P(A \cap B) = 0.3P(A∩B)=0.3所以 P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)因此 AAA 和 BBB 独立答案：AAA 和 BBB 独立
练习 4某工厂生产的产品由两个车间生产，第一车间生产 60%，第二车间生产 40%。第一车间的次品率为 1%，第二车间的次品率为 2%。现从产品中随机抽取一件，发现是次品，求它来自第一车间的概率。
参考答案解题思路： 使用贝叶斯公式计算。
详细步骤：
设 A1={产品来自第一车间}A_1 = \{\text{产品来自第一车间}\}A1={产品来自第一车间}，A2={产品来自第二车间}A_2 = \{\text{产品来自第二车间}\}A2={产品来自第二车间}设 B={产品是次品}B = \{\text{产品是次品}\}B={产品是次品}P(A1)=0.6P(A_1) = 0.6P(A1)=0.6，P(A2)=0.4P(A_2) = 0.4P(A2)=0.4P(B∣A1)=0.01P(B|A_1) = 0.01P(B∣A1)=0.01，P(B∣A2)=0.02P(B|A_2) = 0.02P(B∣A2)=0.02P(B)=0.6×0.01+0.4×0.02=0.006+0.008=0.014P(B) = 0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02 = 0.006 + 0.008 = 0.014P(B)=0.6×0.01+0.4×0.02=0.006+0.008=0.014P(A1∣B)=0.6×0.010.014=0.0060.014=37P(A_1|B) = \frac{0.6 \times 0.01}{0.014} = \frac{0.006}{0.014} = \frac{3}{7}P(A1∣B)=0.0140.6×0.01=0.0140.006=73答案：37\frac{3}{7}73
练习 5掷两颗骰子，设 A={第一颗骰子出现偶数}A = \{\text{第一颗骰子出现偶数}\}A={第一颗骰子出现偶数}，B={两颗骰子点数之和为7}B = \{\text{两颗骰子点数之和为7}\}B={两颗骰子点数之和为7}，判断 AAA 和 BBB 是否独立。
参考答案解题思路： 计算相关概率并检查独立性。
详细步骤：
P(A)=36=12P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}P(A)=63=21P(B)=636=16P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}P(B)=366=61（有 6 种情况：(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)）A∩B={第一颗骰子出现偶数且和为7}={(2,5),(4,3),(6,1)}A \cap B = \{\text{第一颗骰子出现偶数且和为7}\} = \{(2,5), (4,3), (6,1)\}A∩B={第一颗骰子出现偶数且和为7}={(2,5),(4,3),(6,1)}P(A∩B)=336=112P(A \cap B) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}P(A∩B)=363=121P(A)P(B)=12×16=112P(A)P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}P(A)P(B)=21×61=121所以 P(A∩B)=P(A)P(B)P(A \cap B) = P(A)P(B)P(A∩B)=P(A)P(B)，AAA 和 BBB 独立答案：AAA 和 BBB 独立
上一章节 概率的定义与性质 学习概率的定义、古典概型、几何概型、概率的基本性质等下一章节 随机事件和概率综合练习题 随机事件和概率章节的综合练习题，涵盖所有重要知识点 课程路线图1高等数学之函数探秘
先修课程函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。
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先修课程数列是高等数学的基石，本系列文档系统介绍数列的基本概念、性质、极限理论及其应用。
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